Programme:

-Cours 1 (23/01): Introduction et notions de base

1. Introduction, motivations et illustrations.
2. Cinématique: tenseur de déformation, vorticité. Lignes, nappes et tubes de vorticité. Equation de Biot et Savart. Applications à un filament de vorticité.
3. Equations d'évolution: équations de Navier-Stokes, de continuité.
4. Equations d'Euler. Théorème de Kelvin. Théorème de Lagrange. Lois d'Helmholtz.
5. Equation pour la vorticité.
6. Lois de conservation: énergie, impulsion, circulation, hélicité.

1. Equations d'évolution en 2D. Fonction de courant.
2. Modèles de tourbillons: Tourbillons ponctuels, de Rankine, et de Lamb-Oseen.
3. Dynamique des tourbillons ponctuels:

-Quantités conservées: centre de masse (de vorticité), rayon de giration.
-Dynamique de 3 tourbillons: stabilité de l'équilatère; analyse du collapse.
-Dynamique de 4 tourbillons: analyse de la collision de deux dipoles.
-Méthodes "vortex"

1. Nappes de vorticité. Modèles.
2. Instabilité de Kelvin-Helmholtz.

-Critères de Rayleigh et de Fjortoft.
-Instabilité d'une nappe circulaire.

1. Déformation d'un vortex de Rankine. Modes de Kelvin bidimensionnels. Vortex de Moore et Saffman, vortex de Kirchhoff.
2. Introduction aux méthodes numérique de la dynamique des contours.
3. Déformation d'un vortex gaussien. Introduction à l'étude des couches critiques.
4. Phénoménologie de la fusion de deux tourbillons.

1. Equation de Biot et Savart pour les filaments. Approximation d'induction locale.
2. Dynamique des anneaux de vorticité.
3. Dynamique d'une paire de tourbillons contra-rotatifs: instabilité de Crow.

1. Instabilité centrifuge.

-Condition nécessaire et suffisante de stabilité.
-Construction asymptotique d'une perturbation instable.
2. Modes de Kelvin tridimensionnels. Analyse des modes pour le vortex de Rankine.

1. Phénoménologie et illustrations.
2. Mécanisme d'instabilité: résonance de modes de Kelvin.
3. Description asymptotique (pour des petites déformations) de l'instabilité.
4. Analyse faiblement nonlinéaire du mode sinueux.

1. Applications aéronautiques: phénoménologie, théorème de Kutta-Joukowski, condition de Kutta, portance, trainée induite.
2. Techniques expérimentales: visualisations; mesures ponctuelles (fil chaud, anémométrie laser, tube de Pitot) ,  vélocimétrie par images de particules, etc..